БІОФІЗИКА РОСЛИН - Ю. І. Посудін - 2004

IІ. ПРОЦЕСИ ПЕРЕНОСУ В СИСТЕМІ РОСЛИНА-ҐРУНТ-ПОВІТРЯ

10. ПЕРЕНОС ІМПУЛЬСУ

10.1. ГРАНИЧНИЙ ШАР

10.1.1. Характеристики ламінарного граничного шару

Енергія, яку поглинає рослина, витрачається на нагрівання, фотохімічні реакції та випаровування. Нагрівання рослини або її оточення відбувається за рахунок переносу теплоти через теплопровідність та конвекцію, випаровування, пов'язане з переносом водяної пари через транспірацію або двоокису вуглецю через Фотосинтез. Перенос теплоти та маси забезпечується процесом молекулярної дифузії через тонкий шар повітря поблизу поверхні листка - так званий граничний шар. Характеристики цього граничного шару залежать від в'язких властивостей повітря та переносу імпульсу силами внутрішнього тертя (в'язкості).

Розглянемо граничний шар повітря уздовж гладкої поверхні, який утворюється під час руху повітряного потоку вздовж цієї поверхні. Якщо режим потоку ламінарний (шари повітря, що рухаються, не перемішуються), відбувається перенос імпульсу між індивідуальними молекулами. Дійсно, коли повітряний потік рухається над твердою поверхнею, його швидкість збільшується при віддаленні від поверхні, тобто виникає градієнт швидкості (рис. 10.1). Цей градієнт, який можна вважати у першому наближенні лінійним, виникає за рахунок сил тертя з поверхнею. Між шарами повітря, які переміщуються паралельно один одному з різними за модулем швидкостями, також виникають сили тертя. З боку шару, що рухається швидше, на шар, що рухається повільніше, діє прискорююча сила. I, навпаки, шари, що рухаються повільно, гальмують шари, що рухаються швидко. Сили тертя, що виникають при цьому, направлені паралельно поверхні шарів. Завдяки градієнту швидкості відбувається перенос імпульсу mV. Швидкість переносу імпульсу т визначається за виразом:

де η = ρv — коефіцієнт динамічної в’язкості, ρ - середня густина повітря, v - коефіцієнт кінематичної в’язкості. Потік імпульсу вважається додатним, якщо він направлений до твердої поверхні (див. рис. 10.1).

Рис. 10.1. Схема переносу імпульсу потоком повітря, що рухається, до стаціонарної поверхні.

Товщина граничного шару має певні розміри, які визначаються переходом ламінарного режиму течії у турбулентний, коли шари перемішуються. Режим течії характеризується числом Рейнольдса, що визначається за формулою:

де η - динамічна в'язкість повітря, ρ - густина повітря, D - реальний розмір системи (у випадку листка - відстань від краю). Перехід від ламінарної течії до турбулентної визначається за допомогою граничного числа РейнольдсаRe: якщо Re < Re течія ламінарна; при Re > Re_гр течія турбулентна.

Розрахунки характеристик ламінарного граничного шару, зокрема його товщини, на поверхні тіл різної форми були проведені шляхом інтегрування рівнянь граничного шару [Prandtl, 1920]. Наближений метод розрахунків, запропонований Т. Карманом [Karman, 1954], можна сформулювати так: "Виділимо у потоці ділянку, обмежену сталою поверхнею довільної форми. Частинки потоку, що проходять через цю ділянку, змінюють свій імпульс. Відомо, що імпульс дорівнює добутку маси на швидкість. Збільшення імпульсу всіх частинок, що проходять через дану ділянку за одиницю часу, можна виразити як різницю між: імпульсом частинок, які залишили ділянку за одиницю часу, та імпульсом частинок, які надійшли в ділянку за ту ж саму одиницю часу. Ця зміна імпульсу за одиницю часу дорівнює силам інерції і повинна знаходитися у рівновазі із зовнішніми силами, що діють на поверхню ділянки або усередині неї". Ознайомитися з детальними розрахунками можна в роботі Еккерта і Дрейка (1961). Основні результати застосування цих положень до двовимірного потоку вздовж плоскої поверхні наведені нижче.

Рис. 10.2. Профілі швидкості повітряного потоку над плоскою поверхнею: а - однорідний повітряний потік; б - ламінарний граничний шар; в - турбулентний граничний шар.

Якщо розглянути однорідний повітряний потік (рис. 10.2, а), то при його проходженні над плоскою поверхнею утворюється ламінарний граничний шар. Крива розподілу швидкості в цьому шарі спотворюється (рис. 10.2, б). У межах граничного шару швидкість потоку зростає від 0 до сталого, стаціонарного значення. Далі виникає турбулентний шар (рис. 10.2, в), в якому швидкість зростає швидше. Величина граничного шару δ збільшується пропорційно кореню квадратному з відстані / від краю поверхні [Еккерт і Дрейк, 1961]:

де v - кінематична в’язкість (v = η/ρ), l - відстань від краю поверхні, V_ст - стаціонарна швидкість.

Останній формулі доцільно надати безрозмірний вигляд.

Нині використовують поняття еквівалентної товщини граничного шару δ' її визначають за допомогою методу, який наведено на рис. 10.3. Прямокутник abed дорівнює площі заштрихованої фігури, що обтікається кривою розподілу швидкостей, ординатою та асимптотою.

Рис. 10.3. Еквівалентна товщина граничного шару δ*_гр (пояснення у тексті).

10.1.2. Сили тертя

У випадку ламінарного граничного шару на поверхні, що обтікається повітряним потоком, виникає дотичне напруження тертя, яке викликається силами тертя. Це напруження дорівнює:

де

Якщо довжина поверхні вздовж потоку дорівнює L, то середнє значення напруження тертя по всій поверхні становить:

де

Використовуючи електричні аналогії, можна уявити, що переносу імпульсу протидіє певний опір. Якщо довжину шляху від шару повітря, який має швидкість V, до поверхні, де V = 0, визначити як l, то напруження тертя буде дорівнювати:

де R - опір переносу імпульсу, який визначається за таким рівнянням:

10.1.3. Опір форми

Якщо розмістити певне тіло у повітряному потоці, то перенос імпульсу відбудеться не лише завдяки силам тертя, що направлені паралельно поверхні шарів, та градієнту швидкості, що виникає при цьому, але через те, що у напрямку потоку виникає сила, яка називається опором форми. Ця сила обумовлена різними значеннями тиску з передньої та задньої сторони тіла при обтіканні його потоком, залежить від форми та орієнтації тіла. Якщо початковий імпульс тіла становить pV, а середня зміна швидкості - V/2, то швидкість, з якою потік зменшує свій імпульс, буде дорівнювати а сила опору визначається як c_m0,5pV², де c_m - коефіцієнт опору. На практиці враховують одночасно і опір форми, i силу поверхневого тертя шляхом Введення коефіцієнта загального опору де S - площа поверхні, що обтікається.

Для вивчення процесів переносу імпульсу на поверхні листка було застосовано моделі листка - так звані репліки, виконані з алюмінію [Thom, 1968] Розміри репліки наведено на рис. 10.4, а залежність коефіцієнта загального опору (тут враховано, що листок має дві поверхні). Видно, що опір мінімальний, коли репліка розташована вздовж повітряного потоку. Якщо застосувати електричні аналоги, то процес переносу імпульсу вздовж потоку описується опором Оскільки опір форми пропорційний V², а опір завдяки силам поверхневого тертя — V^0,5, то коефіцієнт загального опору можна записати як де n - стала.

Рис. 10.4. Форма та розміри моделі листка.

10.1.4. Опір рослинним частинкам

Сила опору, що діє на частинку (припустимо, що вона має сферичну форму) може бути розглянута з урахуванням певних можливих ситуацій, пов’язаних із співвідношенням між радіусом частинки та довжиною вільного пробігу l молекул газу, серед яких знаходиться частинка:

1. Радіус частинки r значно менший довжини вільного пробігу l молекул газу. В даному випадку частинка являє собою, порівняно з молекулами газу, гігантську молекулу, на яку діють дрібні молекули газу. Оскільки частинка рухається, різниця результуючих сил, що діють на передню та задню поверхні частинки, являє собою силу опору. Ця сила визначається за виразом:

де n - кількість молекул газу, m_г - маса молекул газу, - середня швидкість молекул газу, V - швидкість руху частинки.

Отже, сила опору в даній ситуації пропорційна швидкості руху частинки та площі її поверхні.

2. Радіус частинки r перевищує довжину вільного пробігу λ молекул газу, але число Рейнольдса Re, що характеризує відносний рух частинки і молекул газу, мале, тобто У цьому разі виникають сили внутрішнього тертя між частинкою і газом; для частинки сферичної форми радіусом r сила опору, обумовлена в’язкістю, визначається за законом Стокса:

де η - коефіцієнт внутрішнього тертя (в’язкість).

3. Радіус частинки r перевищує довжину вільного пробігу λ молекул газу, але Re > 1. У даній ситуації домінує опір форми, а сила опору визначається так:

де S - площа перерізу частинки, ρ - густина газу.

Залежність коефіцієнта загального опору с_оп частинки діаметром l від числа Рейнольдса Re_v = Vd/v наведено на рис. 10.5. Для малих значень Re_ч, коефіцієнт с_оп, який знаходять з рівнянь (10.10) та (10.11) лінійно залежить від (Re_ч)^-1:

Рис. 10.5. Залежність коефіцієнта загального опору с_оп частинки діаметром d від числа Рейнольдса Re = Vd/V.

Більш точний вираз, який відповідає реальній ситуації, було знайдено емпіричним шляхом:

Для високих значень Re_ч > 10³, які відповідають турбулентному режиму, с_оп є сталим, а сила опору пропорційна pV² · S.

Приклад. Визначити силу опору для спори патогенного гриба Helminthosporium maydis циліндричної форми, якщо діаметр циліндра становить d = 20 мкм, густина ρ = 1,2 кг·м^-3, коефіцієнт загального опору с_оп = 4, число Рейнольдса Re_ч = 10, швидкість вітру v = 10 м·с^-1.

Розв’язання. Використовуємо рівняння (10.11):

10.1.5. Вертикальний профіль швидкості вітру поблизу земної поверхні

Швидкість вітру по всіх напрямках тривимірної системи координат складається з суми середньої швидкості та випадкових флуктуацій швидкості V_і^і:

де і = х, у z, причому

У природних умовах поблизу земної поверхні виникає турбулентний граничний шар. Розглянемо однорідну горизонтальну поверхню, достатньо велику для утворення добре розвиненого граничного шару. Припустимо, що повітряний потік поширюється лише удвох напрямках - горизонтальному і вертикальному.

Теорію для визначення профілю середньої швидкості вітру у турбулентному граничному шарі було розроблено Прандтлем [Prandtl, 1920]. Розглянемо основні положення цієї теорії. Прандтль провів аналогію між турбулентним та молекулярним рухами: довжина вільного пробігу в кінетичній теорії газів була співставлена з довжиною змішування І. Так, можна припустити, що флуктуації горизонтальної швидкості V на рівні £ відповідають надходженню частинки з нижнього (z-l) рівня. Отже, флуктуації швидкості у горизонтальному напрямку визначається рівнянням:

Ці флуктуації швидкості у горизонтальному напрямку пов'язані з флуктуаціями швидкості U' у вертикальному напрямку. Вертикальний потік імпульсу визначиться за рівнянням:

де ρ - густина повітря.

Для великої кількості частинок повітря середній вертикальний потік імпульсу буде дорівнювати:

Якщо висота над рівнем земної поверхні істотна, можна вважати, що звідки:

Тут вимірюється у (кг·м·с^-1)·м^-2·с^-1.

Підставимо V’ з рівняння (10.15) в останній вираз:

Припускаючи, що флуктуації швидкості у всіх напрямках однакові

можна отримати вираз:

Прандтль також припустив, що флуктуації пропорційні відстані від земної поверхні:

де k = 0,4 м·с^-1 - стала Кармана.

Це свідчить про те, що густина потоку імпульсу є величина стала. Звідси можна стверджувати, що напруження тертя, яке викликається внаслідок взаємодії вітру з земною поверхнею, становить:

де V* - швидкість опору, параметр, який має розмірність швидкості і визначається за формулою:

Комбінуючи рівняння (10.21)-(10.24), можна отримати диференційне рівняння, яке описує вертикальний профіль швидкості вітру:

яке після інтегрування дає вираз для логарифмічного профілю швидкості вітру у турбулентному граничному шарі:

де V*- швидкість опору, стала величина для поверхневого шару атмосфери 50-100 м, z₀ - параметр шорсткості; z - висота; 0,4 м·с^-1 - стала Кармана.

Величини V та z_g легко можна визначити експериментально з напівлогарифмічного графіка залежності швидкості вітру від висоти: перетин прямої залежності з осями координат дає числові значення цих параметрів (рис. 10.6). Значення параметра шорсткості для деяких природних поверхонь наведено у табл. 10.1.

Таблиця 10.1. Значення параметра шорсткості для деяких природних поверхонь

Рис. 10.6. Вертикальний профіль швидкості вітру поблизу земної поверхні у напівлогарифмічній системі координат.

Якщо земна поверхня покрита рослинним покривом висотою h, можна припустити, що нульовий рівень підійметься на висоту d < h. Тоді рівняння вертикального профілю набуде такого вигляду:

де d - зміщення нульової поверхні.

Рівняння (10.26) вірно за умови, що z ≥ z₀-d. Величина параметра V* пропорційна швидкості вітру на висоті z; крім того, вона залежить від тертя повітряного потоку об поверхню. Параметр шорсткості z₀ має розмірність довжини, але його не слід інтерпретувати як вимірювану фізичну величину. Цей параметр визначається емпірично шляхом Визначення швидкості вітру на різних висотах та екстраполяції прямої залежності в область V(z) = 0. Перетин цієї прямої з віссю ординат дає значення lnZ₀. Для однорідних сільськогосподарських угідь параметр шорсткості z₀ і зміщення нульової поверхні d можна визначити за допомогою висоти h рослинного покриву. Для поля середньої густини рослин можна використовувати співвідношення:

Приклад. Чому дорівнює швидкість тертя, якщо швидкість вітру на висоті 2 м над картопляним полем висотою 60 см становить 4 м·с^-1, а зміщення нульової поверхні дорівнює 1,2 м?

Розв’язання. З табл. 10.1 знаходимо величину параметра шорсткості z₀ = 0,04 м. Підставляємо числові дані у рівняння (10.27):

Звідки:

10.1.6. Аеродинамічний опір

Потік імпульсу, що викликається градієнтом горизонтального імпульсу в одиниці об'єму, можна переписати в термінах електричних аналогій:

Де R_і - аеродинамічний опір, який визначається за виразом:

де V(z) - швидкість вітру на висоті z.