Біофізика і біомеханіка - В. С. Антонюк - 2012

Розділ 1.ОСНОВИ БІОМЕХАНІКИ

1.5.Рух в'язких рідин у біологічних системах

У реальних рідких середовищах на межах рухомих шарів діють сили внутрішнього тертя.

Закон Ньютона: Градієнт швидкості пропорційний до прикладеного зсувного напруження:

де η - коефіцієнт динамічної в’язкості, Па·с. Значення коефіцієнта динамічної в’язкості для окремих речовин наведено в табл. 1.2.

Таблиця 1.2

Густина та динамічна в’язкість окремих речовин

Відносна в’язкість дорівнює відношенню коефіцієнта в’язкості рідини до коефіцієнта в’язкості дистильованої води за однієї і тієї самої температури:

В’язкість рідини - це її динамічна властивість, яка залежить від природи рідини, температури та умов руху.

Кінематична в’язкість ν (м²/с) рідини - це відношення коефіцієнта в’язкості до густини:

Описуючи рух рідких середовищ, використовують різні моделі рідин [57]. Найбільш простою є модель ідеальної рідини, яка не зазнає стиснення і в ній не діють сили внутрішнього тертя. Ця модель використовується для отримання найбільш простих рівнянь руху рідини. Неідеальні рідини, сили внутрішнього тертя в яких можна описати рівнянням Ньютона, називають ньютонівськими. Для ньютонівських рідин коефіцієнт в’язкості залежить лише від температури та природи рідини і не залежить від умов плинності (води, розчинів солей та електролітів, крові, гліцерину, спиртів). Існують рідини, коефіцієнт в’язкості яких залежить від умов плинності і змінюється зі зміною швидкості деформації зсуву (розчинів білків, полімерів, деяких суспензій).

В’язкість крові. Рух крові по судинах у цілому підкоряється відомим законам гідродинаміки. Проте він має ряд особливостей, які зумовлені характером течії крові, складністю кровоносної системи, будовою стінок судин, складом крові та властивостями її частинок.

Течія крові майже в усіх судинах (крім початкової ділянки аорти) ламінарна, тобто течія є шаруватою, енергія на турбулізацію течії не витрачається. Частково з цієї причини спроби змоделювати рух крові на основі відомого у фізиці закону Пуазейля - про рух в’язкої (ньютонівської) рідини в трубці - мають хибне наближення.

Унаслідок складності та розгалуженості кровоносних судин, а також незначної протяжності ділянок, що не розгалужуються, судини потрібно розглядати з погляду інженера-гідромеханіка як початкові ділянки руху рідини (крові). Потік крові, який витікає з серця, поділяється після 20-30 розгалужень на мільйони дрібних потоків, що проходять по найдрібніших судинах - капілярах, які мають діаметр близько 8 мкм. Якщо всі кровоносні судини людини витягнути в суцільну лінію, то нею можна було б майже два з половиною рази обігнути земну кулю: загальна довжина кровоносного русла дорослої людини дорівнює приблизно 100 тис. км (довжина екватора земної кулі L_екв = 40075,7 км).

Експериментально було встановлено суттєву залежність динамічної в’язкості крові від її складу [31], що визначається показником гематокриту Ht, який дорівнює відношенню об’єму формових елементів крові (тромбоцитів, фагоцитів, еритроцитів тощо) Уф до об’єму плазми крові V_пл:

Емпірична формула, що позв’язує коефіцієнт в’язкості крові з показником гематокриту:

де η₀ - в’язкість плазми крові.

Зменшення в’язкості крові під час її переходу з венозного русла в артеріальне фізіологічно виправдане, оскільки значно зменшуються витрати м’язової енергії міокарду на просування крові вздовж артеріального русла, в якому швидкості деформації зсуву (а отже, і сили внутрішнього тертя) досить великі (вони у сотні разів перебільшують значення цих сил у венозній ділянці судинної системи).

Розглянемо ще одну особливість кровоносної системи. Сумарний потік крові по будь-якому перетину в системі не буває від’ємним, але поблизу стінок артерій через наявність зігнутих ділянок можуть виникати поворотні місцеві течії. Відцентрові сили, викривлення ліній струмин основної осьової течії зумовлюють виникнення вторинних течій, які напрямлені перпендикулярно до осьової течії. У результаті рідина, яка тече поблизу осьової лінії кровоносної судини, одночасно спрямовується ще й до стінки зігнутої судини, а поворотна течія виявляється напрямленою уздовж стінки до осьової лінії зігнутої судини. Описаний ефект спостерігається і в техніці, якщо трубопроводи зігнуті у вигляді тора, тобто схожі на фрагмент бублика.

Кров є суспензією кров’яних тілець, які деформуються, - еритроцитів, що оточені прозорою рідиною - плазмою. З цією властивістю пов’язані цікаві особливості, наприклад, ефект Фареуса-Ліндквіста, що виникає під час руху крові по судинах різних діаметрів. Ефект виражається у зменшенні в’язкості крові зі зменшенням діаметра капіляра. З погляду реології це можна пояснити зменшенням в’язкості, зумовленим швидкою деформацією рухомого середовища. Такі рідини називають у техніці псевдопластичними; їх описують степеневим законом Оствальда [97]:

де τ - напруження зсуву, Па; K - показник консистенції, Па/с^N; γ - градієнт швидкості зсуву, с^-1; N - показник нелінійності.

Незвичайним є також досить низький опір руху крові в судинах (тобто гідравлічний опір). Це дозволяє серцю мати досить малу потужність. Приблизну потужність серця (Вт) теплокровної тварини можна розрахувати за досить простою формулою:

де Q - загальний об’єм крові, яка бере участь в кровообігу, л; р - перепад тиску в кровоносній системі, Па; υ - середня швидкість руху крові, м/с.

Приклад 1.1. Нехай об’єм крові середньої за масою людини становить п’ять літрів, середня швидкість крові в судинах 3,5 см/с, а перепад тиску (за схемою Б. Фолкова, що наводиться в підручниках з фізіології, наприклад в посібнику [82]) 133,3 кПа (відповідає 100 мм рт. ст.). Визначити потужність серця людини.

Розв’язання:

Тобто потужність серця такої людини становить 23,3 Вт.

На відміну від загального опору руху крові в кровоносній системі, загальний периферичний опір у шоковому стані (наприклад, у разі сильного переляку або больового відчуття) для різних живих організмів неоднакова. Так, загальний периферичний опір судин у кішок у шоковому стані дещо зменшується, знижуючи, таким чином, його згубний ефект. У людей та собак, навпаки, спостерігається підвищення загального периферичного опору, що доводить, наскільки складна загальна теорія опору руху крові в кровоносних судинах.

Серце не в змозі само справитися з подоланням загального опору та доставлянням крові до найвіддаленіших капілярів. Сучасна наука вважає, що кровотечі допомагають «периферичні серця», яких у людини більше семисот. Не будучи серцями в буквальному розумінні слова, ці взаємозв’язані скорочення певних м’язових волокон забезпечують гладкий, рівний рух крові до найвіддаленіших ділянок тіла. І дійсно, в разі поранень великих судин поблизу серця витік крові пульсуючий, а на периферичних ділянках тіла поранення судин зумовлюють відносно слабку і спокійну кровотечу, яка визначається діяльністю периферичних сердець.

Поверхневий натяг - термодинамічна характеристика поверхні розділу двох фаз, що перебувають у рівновазі, яка визначається роботою оберненого ізотермокінетичного утворення одиниці площі цієї поверхні розділу за умови, що температура, об’єм системи та хімічні потенціали усіх компонентів в обох фазах залишаються постійними.

Поверхневий натяг має подвійний фізичний зміст - енергетичний (термодинамічний) та силовий (механічний). Енергетичне (термодинамічне) визначення: поверхневий натяг - це питома робота збільшення поверхні рідини під час її розтягування за умови сталості температури. Силове (механічне) визначення: поверхневий натяг - це сила, що діє на одиницю довжини лінії, яка обмежує поверхню рідини [100].

Сила поверхневого натягу напрямлена по дотичній до поверхні рідини перпендикулярно до ділянки контуру, на який вона діє. Коефіцієнт пропорційності σ (Н/м; Дж/м ) - силу, що діє на одиницю довжини контуру, називають коефіцієнтом поверхневого натягу.

У 1983 р. було доведено теоретично і підтверджено даними з джерела [1], що поняття поверхневого натягу рідини є частиною поняття внутрішньої енергії (проте лише для симетричних молекул, близьких за формою до кулястих). Наведені в праці [1] формули дозволяють для деяких речовин теоретично розраховувати значення поверхневого натягу рідини за іншими фізико-хімічним властивостям, наприклад, за теплотою пароутворення або за внутрішньою енергією. У 1985 р. погляд на фізичну природу поверхневого натягу як частину внутрішньої енергії під час розв’язання іншої фізичної задачі був опублікований В. Вайськопфом у США [9].

Поверхневий натяг може бути на межі газоподібних, рідких і твердих тіл. Зазвичай мається на увазі поверхневий натяг рідких тіл на межі «рідина-газ». У разі рідкої поверхні розділу поверхневий натяг можна також розглядати як силу, що діє на одиницю довжини контуру поверхні, яка прагне зменшити площу поверхні до мінімуму за заданих фаз.

Оскільки поява поверхні рідини потребує здійснення роботи, кожне середовище «прагне» зменшити площу своєї поверхні: у стані невагомості краплина набуває сферичної форми (сфера має найменшу площу поверхні серед усіх фігур однакового об’єму); струмінь води набуває циліндричної форми; малі об’єкти, густина яких більша за густину рідини, здатні «плавати» на поверхні рідини, оскільки сила тяжіння менша за силу, що перешкоджає збільшенню площі рідини; деякі комахи (наприклад, водомірки (Gerridae)) здатні пересуватися по воді, утримуючись на її поверхні за рахунок сил поверхневого натягу.

На багатьох поверхнях, які називають незмочуваними, вода (або інша рідина) збирається в краплі. З поверхнею рідини пов’язане поняття «вільна енергія» (Дж):

де σ - коефіцієнт поверхневого натягу, Дж/м ; S - повна площа поверхні рідини, м².

Оскільки вільна енергія ізольованої системи прагне до мінімуму, то рідина (без дії зовнішніх полів) прагне набути форми, що має мінімальну площу поверхні. Таким чином, визначення форми рідини зводиться до ізопериметричного перетворення за заданих додаткових умов (початкового розподілу, об’єму тощо). Вільна крапля набуває форми кулі, проте за складніших умов задача про форму поверхні рідини стає надто складною.

Розглянемо тонку рідку плівку, товщиною якої можна знехтувати. Прагнучи мінімізувати свою вільну енергію, плівка створює різницю тиску з різних боків. Цим пояснюється існування мильних бульбашок: плівка стискається доти, доки тиск усередині бульбашки не перевищить атмосферний на величину додаткового тиску плівки. Додатковий тиск у точці поверхні залежить від середньої кривизни в цій точці і визначається формулою Лапласа:

тут R₁, R₂ - радіуси головних радіусів кривизни в точці. Вони мають однаковий знак, якщо відповідні центри кривизни розміщенні з одного боку дотичної площини в точці, і різний знак - якщо з різних боків. Наприклад, центр кривизни сфери в будь-якій точці поверхні збігається з центром сфери, тому

Для випадку поверхні колового циліндра радіусом R:

Відповідно до формули Лапласа вільна мильна плівка, яка натягнута на рамку довільної форми і не утворює бульбашок, матиме середню кривизну, яка дорівнює нулю.

Приклад 1.2. Водомірка бігає по поверхні води. Знайти масу m водомірки, якщо відомо, що під кожною із шести лапок комахи утворюється ямка, що дорівнює півсфері радіусом R= 0,1 мм.

Розв'язання:

Згідно з формулою Лапласа:

Тут σ = 0,0756 Н/с - коефіцієнт поверхневого натягу для води (за температури 20 °С).

Способи визначення поверхневого натягу поділяють на статичні та динамічні. Відповідно до статичних методів поверхневий натяг визначають на поверхні, що сформувалася і перебуває в рівновазі. Динамічні методи зумовлюють руйнування поверхневого шару. У разі вимірювання поверхневого натягу розчинів (особливо полімерів або поверхнево- активних речовин - ПАР) слід користуватися статичними методами. У ряді випадків рівновага на поверхні може настати протягом декількох годин (наприклад, у разі концентрованих розчинів полімерів з високою в’язкістю). Динамічні методи можна застосовувати для визначення рівноважного поверхневого натягу та динамічного поверхневого натягу. До встановлення рівноважного стану він буде динамічним. Наприклад, для розчину мила після перемішування поверхневий натяг становить 58 Дж/м², а після відстоювання - 35 Дж/м². Тобто поверхневий натяг змінюється.

Основні методи визначення поверхневого натягнення для різних рідин наведено в табл. 1.3.

Таблиця 1.3

Основні методи визначення поверхневого натягу

Коефіцієнти поверхневого натягу окремих рідин на межі «рідина- повітря» наведено в табл. 1.4 [47].

Таблиця 1.4

Коефіцієнти поверхневого натягу окремих рідин на межі «рідина-повітря»

Змінити поверхневий натяг рідин можна додаванням до них окремих речовин - гідрофобних, або мікрогідринів. Прикладом такої речовини може бути нанопорошок кремнезему, окремі порошинки (мікрокластери) якого розчинені в рідині і являють собою мікро- та наноколоїдні розчини.

Принцип дії наноколоїду кремнезему [5]. Мікрокластери кремнезему - мікроколоїдні частинки сферичної форми, отримані за спеціальною технологією з природного кремнію, карбонату калію, сульфату магнію та жирних кислот сафлорового масла. Особливістю мікрокластерів є дуже малий розмір (діаметр сфери до 5 нм) і наявність у них негативного заряду (дзета-потенціал). Мікрокластери сильно зменшують поверхневий натяг води, роблять її «мокрішою». Вода стає структурованою. Біодоступність і біоактивність структурованої води істотно підвищуються. Завдяки надзвичайно малим розмірам мікрокластери легко проникають через клітинні мембрани. Крім того, вони заряджені негативно, а живильні речовини і токсини - позитивно. Тому мікрокластери є ефективною системою доставляння живильних речовин в клітинку і виведення токсинів з неї. Біологічна дія такої речовини: загальнозміцнювальна, яка нормалізує обмін речовин, підвищує фізичну і розумову працездатність, імуностимулювальна і така, що уповільнює процеси старіння тощо.

Вода з водопроводу істотно відрізняється від води, яка омиває клітини і тканини організму. Поверхневий натяг водопровідної води становить близько 73 дін/см (дін - одиниця вимірювання сили в системі одиниць СГС; 1 дін = г · см/с =10^-5 Н), тоді як цей показник води, яка омиває клітини, приблизно 45 дін/см. Отже, для того щоб живильні речовини могли пройти через клітинну мембрану, а токсичні з’єднання вийти з клітини, організм повинен зменшити поверхневий натяг споживаної води.

Мікрогідрин пришвидшує і полегшує цей процес, знижуючи поверхневий натяг рідин, що містяться у споживаних харчових продуктах та інших додаткових компонентах раціону. За даними лабораторії з прикладних методів дослідження і охорони навколишнього середовища необхідною умовою для внутріклітинного обміну та обміну клітинки з навколишнім середовищем є також і оптимальна провідність біологічних рідин. Цей показник можна визначити вимірюванням величини, оберненої до питомої провідності, питомого електричного опору.

Негативні йони водню, що входять до складу мікрогідрину, впливають на воду, яка міститься в споживаних харчових продуктах і домішках, таким чином, що зменшують поверхневий натяг і збільшують питому електричну провідність. Зниження поверхневого натягу в позаклітинній рідині відіграє важливу роль у виведенні токсинів з клітин, а у венозній крові - з організму в цілому.

В’язкопружні властивості біологічних тканин. Для відтворення механічних властивостей біологічних тканин можна скористатися найпростішими моделями - моделлю тіла Максвелла та моделлю тіла Фойгта, що являють собою послідовне й паралельне з’єднання пружного та в’язкого елементів (рис. 1.14, 1.15). Ці моделі дозволяють відтворити такі динамічні властивості тканин, як повзучість та релаксація напруження [85].

За допомогою моделі Максвелла легко отримати експоненціальний закон релаксації напруження:

де t - стала часу релаксації, (с); σ₀- початкове напруження, Па.

Модель Фойгта дозволяє пояснити поступове зростання з часом напруження у зразку, якщо до тіла прикласти зусилля, що змінюється дискретно.

Основні рівняння руху рідини. Рівняння нерозривності струменя. Рух рідини називають течією, а сукупність частинок рухомої рідини - потоком. Графічно рух рідин зображується за допомогою ліній струменів, напрямлених так, що дотичні до них збігаються за напрямком з вектором швидкості рідини в певний момент часу. Лінії струменів проводять так, щоб густість їх була більша там, де більша швидкість руху рідини, і менша там, де рідина тече повільніше.

Частина рідини, обмежена лініями струмин, називається трубкою струменів.

Рух рідини називають сталим (або стаціонарним), якщо форма і розміщення ліній струменів, а також значення швидкостей в кожній її точці з часом не змінюються.

Розглянемо трубку струменів, вибравши два перерізи S₁ і S₂, перпендикулярні до напрямку швидкості (рис. 1.16).

За час Δt через переріз S перетікає об’єм рідини SvΔt. Якщо рідина нестислива, то через переріз S₂ за одну секунду перетече такий же об’єм рідини, що й через переріз S₁.

Рис. 1.16. Схема до пояснення рівняння нерозривності струменя рідини

Рівняння нерозривності. Добуток швидкості перетікання нестисливої рідини на поперечний переріз трубки струменя є величиною сталою для цієї трубки струменів:

Рівняння Бернуллі. Рівняння Бернуллі являє собою закон збереження енергії для одиниці об’єму ідеальної рухомої рідини.

Ідеальною рідиною називаються уявну рідину, в якій не діють сили внутрішнього тертя (рідина, в’язкістю якої можна нехтувати).

Для стаціонарної ідеальної рідини, що тече, вибирають трубку струменів, обмежену перерізами S₁, S₂. За законом збереження енергії зміна повної енергії рідини масою m у місцях перерізів S₁, S₂ дорівнює роботі зовнішніх сил з переміщення цієї маси рідини: Е₂ - Е₁ = А, де повна енергія рідини відповідно в перерізах S₁, S₂ становить:

де l₁ = υ₁Δt, l₂ = υ₂Δt; F = p₁S₁, F₂ = -p₂S₂.

Звідси

Згідно з рівнянням безперервності об’єм, який займає рідина,

Використовуючи вираз m = pΔV, де ρ - густина рідини, отримують рівняння Бернуллі:

де динамічний тиск; pgh - гідростатичний тиск; р — статичний тиск (тиск рідини на поверхні тіла, яке вона обтікає).

Приклад 1.3. Знайдіть швидкість і час повного осідання сферичних частинок крові радіусом r = 2 мкм (густина частинок р_ч = 2,5 г/см³) у шарі завтовшки l = 3 см: а), якщо є сили тяжіння; б) за центрифугування з частотою v = 500 с^-1 (у цьому випадку силою тяжіння знехтувати). Радіус центрифуги R = 10 см.

Розв’язання:

а) Під дією сили ваги за законом Бернулі: р_i Vg = 6πηrυ, де об’єм частинки крові в’язкість крові η = 5 мПас, швидкість осадження

тоді час осадження

б) Під дією сили центрифугування за формулою Пуазейля:

де площа центрифуги S = πR² , в’язкість крові η = 5 мПас, спад тиску маса частинки крові m = p_iV, її площа перерізу S' = πr² та об’єм , тоді швидкість осадження

Час осадження

Рівняння руху і рівноваги рідини. Рівняння для стаціонарного руху ньютонівської рідини, коли зовнішні сили дорівнюють нулю, а сила тяжіння не впливає на рух рідини:

Розглядаючи будь-який рух рідин і рівняння його руху, можна виокремити деякі важливі параметри рідини (в’язкість, густину, модуль об’ємної пружності) та характеристики її руху (швидкість, розміри, час). У гідродинаміці відомі декілька безрозмірних величин, що являють собою комбінацію цих параметрів. Це числа Рейнольдса (Re), Фруда (F), Маха (М), Струхаля (S) [19; 20; 53].

Число Рейнольдса визначає відносну роль інерції і в’язкості рідини під час її плинності. За великих чисел Рейнольдса головну роль відіграє інерція, а в разі малих - в’язкість. Потоки рідин вважаються подібними, якщо для них числа Рейнольдса і Фруда збігаються. У разі малих чисел Рейнольдса течія в’язких рідин є ламінарною, у міру зростання швидкості ламінарна течія стає нестійкою і перетворюється в турбулентну. Турбулентна течія - це така течія, гідродинамічні характеристики якої (швидкість, тиск) різко і нерегулярно змінюються з часом та у просторі.