Біофізика і біомеханіка - В. С. Антонюк - 2012

Розділ 4. БІОФІЗИКА СКЛАДНИХ БІОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ

4.1.Математичне моделювання складних біологічних систем

4.1.4 Задачі на подібність

Можна спостерігати комах, які, подібно до гелікоптера, нерухомо висять в повітрі. Змінюють своє положення вони дуже швидко. Наприклад, муха-журчалка, відома як сирфіда, може нерухомо висіти в одному положенні, а в разі щонайменшої небезпеки змінює це положення приблизно за десяту частку секунди, відлетівши вбік на відстань близько одного метра. Неважко підрахувати, що її швидкість дорівнює 10 м/с. Якщо розмір тіла мухи дорівнює одному сантиметру, то виходить, що муха за секунду пролітає відстань у тисячу разів більшу від довжини її тіла.

Якщо тепер уявити літак з корпусом завдовжки 30 м, то, припустивши, що за секунду він пролетить відстань, яка в 1000 разів перевищує довжину його корпуса, можна дійти абсурдного результату: швидкість літака повинна була б дорівнювати 30 км/с, що майже в сто разів більша за швидкість звуку. Такий літак обігнав би будь-яку ракету! Виникає питання: невже муха досконаліша за літак?

Зрозуміло, що в подібних випадках не можна користуватися порівняннями, що враховують тільки пропорції.

У техніці широко застосовують моделі, експериментальне дослідження яких дає матеріал для проектування різних машин у натурі. Наприклад, літак. Його модель і окремі частини (крило, фюзеляж) продуваються в аеродинамічній трубі. І якщо модельні результати перерахувати на натурні, виходячи лише з пропорційності, то вийде результат, що нагадує порівняння мухи та літака.

Щоб результати модельних випробувань можна було використовувати на практиці, учені розробили теорію подібності. Було з’ясовано, що деякі безрозмірні величини характеризують різні рухи тіла і дозволяють порівнювати їх між собою, чого не можна зробити, використовуючи пропорційність. Прикладом такої безрозмірної величини (у науці такі величини називають безрозмірними параметрами і більшості з них привласнені імена учених, які їх запропонували) є число Рейнольдса, що позначається зазвичай через Re. Це число відіграє велику роль у розрахунках в авіації і кораблебудуванні. Воно має вигляд: де υ - швидкість тіла відносно середовища, у якому воно рухається; 1 - довжина тіла (характерний розмір); ν - кінематичний коефіцієнт в’язкості середовища.

Під кінематичним коефіцієнтом в’язкості тут слід розуміти параметр, що характеризує густину середовища. Якщо довжину виразити в метрах, а швидкість в метрах за секунду, то кінематичний коефіцієнт в’язкості для води становитиме 1,06· 10 м/с, а для повітря - 14,9· 10 м/с.

Фізичний сенс числа Рейнольдса полягає в тому, що поведінка потоку рідини або газу, які оточують тіло певної форми, за постійного значення числа Рейнольдса не залежить від розмірів тіла.

Фахівці, що займаються біонікою, розрахували значення чисел Рейнольдса для ряду тварин. Деякі заокруглені для них значення такі: комара - 15, хруща - 150, мухи - 1000, ластівки - 7000, щуки - 10 тис., дикого гусака - 100 тис., акули - 1 млн, дельфіна - 10 млн.

Може видатися парадоксальним твердження, що слон стрибає на таку ж висоту, як і миша в абсолютному, а не в пропорційному значенні. Щоб довести бездоказовість цього твердження, слід звернутися до теорії розмірностей та подібності (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Схема розв’язання задачі про стрибок

Готуючись зробити стрибок, людина згинає ноги в колінах, а потім швидко їх випрямляє, переносячи центр тяжіння тіла на висоту h і повідомляючи тілу кінетичну енергію, яка дозволить на короткий час подолати силу земного тяжіння та підскочити вгору, перемістивши центр тяжіння на висоту Н.

Створювана силою відштовхування кінетична енергія переводить тіло в стан з вищою потенціальною енергією, яку можна подати у вигляді рівняння: PH = Fh, де Р - сила тяжіння; F - сила відштовхування, що створюється ногами людини для стрибка (або тварини). Сила відштовхування пропорційна поперечному перетину м’яза. Поперечний перетин пропорційний квадрату довжини м’яза, а вона пропорційна довжині тіла стрибуна. Якщо цю довжину позначити через І, - це і буде характерний розмір тіла. У результаті проведених розрахунків можна записати, що сила відштовхування F = І2, величина h пропорційна довжині тіла І, сила тяжіння, що характеризує масу тіла, Р = І. Якщо виразити Н через решту величин, то відповідно до розглянутої пропорційності

Як з’ясувалося висота стрибка Н не залежить від довжини тіла l. Із погляду математики Н не є функцією від І. А це означає, що тварини, що мають схожу будову, стрибають на однакову висоту незалежно від розмірів тіла.

Отриманий результат грунтується на законах механіки, проте не слід забувати і біологію. У природі живі організми мають широкі можливості для адаптації, тобто пристосованість до умов існування. Тому у тварин, що стрибають (кенгуру, тушканчиком та ін.), дуже сильно розвинені задні кінцівки, через що будова цих тварин відрізняється від інших і стрибають вони вище за інших.

За наведеним розрахунком отримано лише грубу оцінку, але зроблений висновок дуже важливий: висота стрибка не може бути пропорційна величині тіла істоти, що стрибає.

Обмеження розмірів теплокровної істоти знизу визначається перш за все його тепловою взаємодією із зовнішнім середовищем. Оскільки тепловіддача збільшується пропорційно поверхні тіла теплокровної тварини, то тепловий баланс організму може бути порушений, якщо розміри тіла будуть менші від критичного. Тому існує нижня межа розмірів теплокровної тварини.

Еритроцити. Їх участь у керуванні кровотечею ґрунтується на деформації. Форма еритроцита оптимальна (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Оптимальна форма еритроцита

Вона відповідає мінімуму енергії, яка необхідна для деформації оболонки еритроцита, а йому під час проходження по капілярах доводиться гнутися і згортатися. Розрахунок залежності між формою та енергією досить складний. Результати досліджень [91] можна проілюструвати графіком (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Залежність енергії деформації еритроцита від показника форми:

Е - енергія деформації еритроцита; Ф - показник форми

Із графіка видно, що форма еритроцита подібна на гумовий м’ячик, стиснений з обох боків, найбільш вигідна в енергетичному сенсі.

Покажемо, як за допомогою відповідної математичної формули можна зобразити форму еритроцита в системі обраних координат (рис. 4.7). Скористаємося кривою Кассіні. У математиці вона відома як крива в площині, що є геометричним місцем точок, для яких добуток відстаней до двох заданих точок A1 і та А2 є величиною сталою. Таким чином, для кожної точки, яка належить кривій Кассіні, має виконуватися умова Pq = а, де Р та q - відстані від точки на кривій до точок A1 та A2. Це рівняння описує форму поперечного перетину еритроцита. Форму всього еритроцита. р можна отримати обертанням кривої Кассіні навколо її центральної осі.

Рис. 4.7. Математична побудова форми еритроцита

Очевидно, що форму еритроцита модельно можна охарактеризувати двома величинами: сталою величиною а і відстанню між точками A1 і А2. Як тільки відношення цих величин зміниться, так відразу ж зміниться і форма кривої перетину еритроцита; отже, зміна форми, тобто «розбухання» еритроцита, можна моделювати зміною цього відношення. Це і є чинник форми.